ANALYSIS OF SAINT-VENANT EQUATIONS FOR AN ARBITRARY SLOPE

Authors

Tukembaeva G.Ch. J. Balasagyn Kyrgyz National University
Temirov B.K. J. Balasagyn Kyrgyz National University

Keywords:

shallow water equations, Rote method, dynamical systems, Courant condition, tsunami.

Abstract

For a one-dimensional system of nonlinear equations of hyperbolic type - Saint-Venant's equations, a proof of unique solvability by the Rothe method is obtained. The differential-difference problem of the Rote method is transformed into a system of ordinary differential equations (ODE), corresponding to the divergent form of the original system of nonlinear shallow water equations. Since the behavior of the ODE system is determined by the eigenvalues, we study the ODE system without the right side to implement the Lavrentiev waveguide. A quadratic equation follows from the system, which characterizes the behavior of the ODE system and the Saint-Venant equations. The results are confirmed by evidence of the validity of the conclusions. Compared with known methods, tsunamis are studied as a dynamic system. The found solution is adequate to the known results from other areas of natural science, which guarantees the correctness of the application of methods of dynamical systems.

References

Мурти Т.С. Сейсмические морские волны цунами. – Л.: Гидрометеоиздат, 1981. – 448 с.

Вольцингер Н.Е. Длинноволновая динамика прибрежной зоны. – Л.: Гидрометеоиздат, 1989. – 272 с.

Шокин Ю.И., Чубаров Л.Б. Очерк истории исследования проблемы цунами в Сибирском отделении Российской академии наук // Вычислительные технологии. 1999. – Т. 4, № 5. – С. 70-105.

Петросян А.С. Дополнительные главы теории мелкой воды. – М.: Изд-во ИКИ РАН, 2014. – 64 с.

Шокин Ю.И. Численное моделирование наката волн цунами на побережье с использованием метода крупных частиц / Ю.И. Шокин, С.А. Бейзель, А.Д. Рычков, Л.Б. Чубаров // Матем. моделирование. – 2015. – Т. 27, № 1. – С. 99-112.

Марчук Ан.Г. Вычисление высоты цунами, распространяющейся над наклонным дном, в лучевом приближении // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. – Новосибирск, – 2015. – Т. 18, № 4. – С. 377-388.

Birkhoff G. Numerical fluid dynamics // SIAM Rev. – 1983. – Vol. 25, N. 1. – P.1-34.

Булатов О.В., Елизарова Т.Г. Регуляризованные уравнения мелкой воды и эффективный метод численного моделирования течений в неглубоких водоемах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2011. – Т.51, №1. – С. 170-184.

Булатов О.В. Аналитические и численные решения уравнений Сен-Венана для некоторых задач о распаде разрыва над уступом и ступенькой дна // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2014. – Т. 54, №1. – С. 150-164.

Черевко А.А., Чупахин А.П. Уравнения модели мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере 1. Вывод и общие свойства // Прикладная механика и техническая физика/ – 2009. – Т.50, №2. – С. 24-36.

Шеретов Ю.В. Регуляризованные уравнения гидродинамики. – Тверь: Тверской государ. ун-т, 2016. – 222 с.

Constantin A. Nonlinear water waves: introduction and overview // Royal Society of London. Philosophical Transactions A. Mathematical, Physical and Engineering Sciences. Vol. 376, Issue number 2111 (20170310), 2018 Jan 28. http://dx.doi.org/10.1098/rsta.2017.0310

Елизарова Т.Г., Иванов А.В. Квазигазодинамический алгоритм численного расчета двуслойных уравнений мелкой воды // Препринт ИПМ им. М. Келдыша. – 2016. – № 69. – 27 с.

Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. – М.: Наука, 1973. – 415 с.

Темиров Б.К., Тукембаева Г.Ч. Аналитическое решение уравнений мелкой воды методом Роте // Вестник КНУ им. Ж. Баласагына. – 2020. – №3 (103). – С. 134-142.

Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями / Пер. с англ. – М.: Мир, 1986. – 243 с.

Pegler, S.S., Ferguson, D.J. Rapid heat discharge during deep-sea eruptions generates megaplumes and disperses tephra // Nature Communications. Vol. 12, No 2292. Published: 21 April 2021. https://doi.org/10.1038/s41467-021-22439-y