MERGING TURNING POINTS AND DELAYING DECISIONS

Authors

M. Nurmatova Jalal-Abad state university after B.Osmonov
K.S. Alybaev

Keywords:

singularly perturbed equations;, equilibrium position; stability;, analytical;, harmonic functions;, level lines;, boundedness;, convergence;, solution delay.

Abstract

This paper considers an autonomous system of singularly perturbed equations, consisting of four equations of first-order fast variables and one equation of a slow variable. The matrix of the first approximation of fast variables has pairwise complex conjugate eigenvalues. The system has an equilibrium position, and the stability of the equilibrium position is lost by all eigenvalues for two values of the slow variable. The concept of decision delay near an unstable equilibrium position is introduced. The problem of delaying the solution of a system near an unstable equilibrium position has been solved. The solution to the problem is based on geometric constructions, using the properties of the level line of harmonic functions. The method of analytical continuation of the system under consideration to a certain circle of the complex plane of the independent variable, containing a segment of the real axis, is used. The phenomenon of decision delay for analytical systems has some similarities with the phenomenon of decision delay for systems with canard trajectories.

References

Иманалиев, З.К. Асимптотическое решение сингулярно-возмущенной задачи оптимального управления с минимальной энергией / З.К.Иманалиев, Б.Ы.Аширбаев // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2020. – № 3. – С. 89–97.

Соболев В.А., Осинцев М.С. Метод интегральных многообразий в задачах оптимального управления сингулярно-возмущенными системами // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014, – ИПУ РАН. 2014. – С. 769–779.

Аширбаев, Б.Ы. Асимптотическое решение линейной сингулярно-возмущенной задачи оптимального быстродействия / Б.Ы. Аширбаев, Г.Ж.Апышова // Наука, новые технологии и инновации. – 2021. – № 7. – С. 3–9.

Воропаева, Н.В. Декомпозиция разнотемповых динамических систем со слабой диссипацией / Н.В.Воропаева // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. – 2013. Вып. 9/2 (110). – С. 5–10.

Шаршеналиев, Ж. О подходах упрощения сложных динамических систем / Ж.О.Шаршеналиев // Проблемы автоматики и управления. – 2020. – №1 (38). – С.5-7.

Gorelov G.N., Duck-trajectories in a thermal explosion problem / G.N.Gorelov, V.A.Sobolev // Appl. Math. Lett. – 1992. – V. 5., № 6. – P. 3–6.

Gorelov, G.N. Mathematical modeling of critical phenomena in thermal explosion theory / G.N.Gorelov, V.A. Sobolev // Combust. Flame. – 1991. – V. 87. – P. 203–210.

Голодова, Е.С. Оценка затягивания потери устойчивости в дифференциальных системах с траекториями-утками / Голодова Е.С., Щепакина Е.А. // Вестник СамГУ – Естественная серия. – 2013. – № 3 (104). – С. 12-24.

Понтрягин, Л.С. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений с малым параметром / Л.С.Понтрягин, Мищенко Е.Ф. // Труды МИАН. – 1985, T. 169. – C. 99-118.

Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. – Москва: Наука, 1975. – 247 с.

Шишкова, М.А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных /М.А.Шишкова // Докл.АН СССР. 1973. Т.209. – №3. – С. 576-579.

Нейштадт, А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях. II / А.И.Нейштадт // Дифференц. уравн. – 1988. – Т. 24., №2. – С. 226–233;

Алыбаев, К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости / К.С.Алыбаев //Вестник КГНУ. – Серия 3, Вып 6. – Бишкек, 2001. – С.190-200;

Турсунов, Д. А. Асимптотика решения задачи Коши при нарушении устойчивости точки покоя в плоскости «быстрых движений» /Д.А.Турсунов //Вестник Томск.гос.универ. Матем. и механика. – 2018. – №54, – С. 46–57;

Алыбаев, К.С. Явление затягивания потери устойчивости в теории сингулярных возмущений / К.С.Алыбаев, М.Н.Нурматова // Бюллетень науки и практики. – 2023. – Т. 9., №12. – С. 12-19.

Алыбаев, К.С. Метод линий уровня в теории сингулярно возмущенных уравнений / К.С.Алыбаев, Н.К.Мусакулова // Вестник ОшГУ. – 2022. – № 4. – С. 206-217.

Алыбаев, К.С. Рекуррентное представление решений сингулярно возмущенных уравнений с точками поворота в комплексной области / К.С.Алыбаев, М.Н.Нурматова // Вестник ЖАГУ. – 2021. – №1(46). – С.14-19;

Алыбаев, К.С. Методы исследования асимптотики решений сингулярно возмущенных уравнений в комплексных областях / К.С.Алыбаев, М.Н.Нурматова, Н.К.Мусакулова // Бюллетень науки и практики. – 2024. – Т. 10., №3. – С. 14-27.

Копсон Э. Асимптотические разложения. – Москва: Мир. 1966. –156 с.

Федорюк М.В. Метод перевала. – Москва: Наука. 1977. – 352 с.

Лаврентьев М.А., Шабат Б.Ф. Методы теории функции комплексного переменного, – Москва: Наука. 1973. – 739 с.

Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – Москва: Наука. 1967. – 444с.